Un famoso paradosso logico prende il nome da un presentatore di quiz: nasce il problema di Monty Hall. Oggi ve lo raccontiamo
È possibile che qualche amico vi abbia proposto questo enigma, ma oggi ve lo raccontiamo nei dettagli: è il problema di Monty Hall o, informalmente, “delle tre porte”.
Formulazione del problema di Monty Hall
Stai concorrendo a un quiz. Hai risposto a tante domande e ora sei all’ultima prova: il conduttore ti presenta tre porte chiuse, dietro una di esse c’è il premio finale, dietro le altre due una capra. Scegli una porta. Il conduttore sa dov’è il premio: apre una delle altre due porte mostrandoti la capra e ti propone di cambiare la tua scelta con la terza porta rimasta: ti conviene cambiare la tua scelta, mantenerla o in entrambi i casi le possibilità di vittoria rimangono identiche? Ecco il problema di Monty Hall, dalla soluzione controintuitiva.
Storia del problema di Monty Hall
Durante il gioco a premi statunitense Let’s Make a Deal il presentatore Monty Hall, pseudonimo di Maurice Halprin (1921 – 2017), offriva ai concorrenti di scegliere una porta fra tre per trovare l’automobile in premio. Una volta scelta, il conduttore apriva una delle due porte non scelte, mostrando una capra, per aumentare la tensione del gioco (senza offrire la possibilità di cambiarla). Il problema per come lo conosciamo venne posto da Steve Selvin in una lettera all’American Statistician nel 1975. Nel 1990 Craig F. Whitaker ripropose il problema in una lettera indirizzata alla rubrica di Marilyn vos Savant nel settimanale Parade: per chi non la conosce, Vos Savant (nata nel 1946) è l’essere umano con il QI più alto del mondo (228). Vista la soluzione data dalla saggista, l’enigma venne ribattezzato “Problema di Monty Hall”, un po’ come se qualcuno inventasse un “Problema di Gerry Scotti” traendo un dilemma matematico da un suo programma!
Ma quindi mi conviene cambiare la porta?
Prima che venga aperta la porta c’è una possibilità su tre di vittoria: questo è ovvio. Questo accade sia che il conduttore apra la porta o meno. Poniamo che l’auto sia dietro la terza porta.
- Se si sceglie la prima porta, che ha la capra, e non si cambia la scelta, si trova la capra;
- Se si sceglie la seconda porta, che ha la capra, e non si cambia la scelta, si trova la capra;
- Se si sceglie la terza porta, che ha l’automobile, e non si cambia la scelta, si trova l’automobile.
Una volta aperta la porta, a prima intuizione si potrebbe pensare che il concorrente abbia una possibilità su due di vincere perché una porta ha il premio e l’altra ha la capra: 50%.
In realtà, in quell’istante, il concorrente ha il 50% di possibilità di trovare il premio, ma il gioco inizia prima, quando la scelta è su tre porte.
- Se si sceglie la prima porta, che ha la capra, e si cambia la scelta, si trova l’automobile;
- Se si sceglie la seconda porta, che ha la capra, e si cambia la scelta, si trova l’automobile;
- Se si sceglie la terza porta, che ha l’automobile, e si cambia la scelta, si trova la capra.
Se il concorrente sceglie una porta con la capra (due su tre), il presentatore sarà obbligato a mostrare l’altra porta con la capra: quindi, due volte su tre, cambiando la propria scelta, si troverà il premio. Se il concorrente sceglie la porta con il premio (una su tre), al cambio si troverà la capra (una su tre).
Soluzione al problema di Monty Hall: cambiare la porta conviene! Ci sono due possibilità su tre di raggiungere il premio, mentre non cambiando la porta rimane la stessa statistica iniziale di una su tre.
Più porte
Cosa succederebbe se al telequiz fossero proposte quattro porte, tre con una capra nascosta e una con il premio? Mostrando il contenuto di una porta aumentano o diminuiscono le possibilità di fallire se si cambia la scelta? Fatecelo sapere nei commenti!
Paradosso o problema?
Il problema di Monty Hall è chiamato impropriamente paradosso, ma un paradosso è un problema che porta a una contraddizione, ossia una frase che è opposta a ciò che è fissato in partenza. Questo è un problema perché è risolvibile, anche se la soluzione è controintuitiva.
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