Numeri poligonali: cosa sono? | Matematica

Sappiamo perfettamente che i numeri sono rappresentazioni di quantità, ma come li disegniamo è una questione arbitraria. A seconda della cultura di provenienza, i numeri hanno diversi tratti: facciamo alcuni esempi.

• Numeri arabi: 1, 2, 3, 4, 5…
• Numeri romani: I, II, III, IV, V…
• Numeri giapponesi: 一, 二, 三, 四, 五…
• Eccetera.

Anche per rappresentarli con le mani ci sono diverse maniere: il numero zero facendo un cerchio con pollice e indice o chiudendo la mano a pugno; il numero tre può essere indicato sollevando pollice, indice e medio, oppure indice, medio e anulare… Come sa bene il tenente Archie Hicox!

Una volta resosi necessario il sistema esadecimale, sono state sfruttate le lettere A, B, C, D, E, F per indicare i valori da 10 a 15 con una sola cifra, ma nulla avrebbe vietato usare altri caratteri (o inventarne).

Rappresentazioni come quantità: il metodo più semplice

Quando alle scuole primarie impariamo a contare, ci vengono proposti esempi semplici: conta le mele, conta le auto, conta i bambini: oggetti reali, insomma, per poi passare alla rappresentazione astratta del numero.

Ecco quindi un vecchio/nuovo metodo per rappresentare i numeri: una serie di oggetti, per esempio dei sassolini, o dei pallini:

• 1 = •
• 2 = • • 
• 3 = • • •
• 4 = • • • •
• Eccetera.

I numeri poligonali

Numeri triangolari

Disegniamo ora un pallino su un foglio, o mettiamo un sassolino a terra: abbiamo scritto “uno”. Sotto “uno”, scriviamo “due” con due pallini. Quel che ci apparirà sarà un triangolo (magari equilatero). Sotto “due” scriviamo “tre” con tre pallini. E via avanti così. Il numero di pallini totale che otteniamo di volta in volta è detto numero triangolare: tutte le quantità che possono creare un triangolo prendono questo nome.

I primi numeri triangolari sono 1, 3, 6, 10, 15, 21 e così via.

Numeri quadrati

In questo caso tentiamo di costruire un quadrato. Disegniamo il numero 1, poi costruiamo un quadrato con altri 3 pallini. Per costruire un altro quadrato dovremmo inserire altri 5 pallini; poi un altro strato di 7 pallini… I valori 1, 4, 9, 16 e così via sono chiamati numeri quadrati, molto più noti e conosciuti per l’uso con le esponenziali.

Naturalmente è possibile che alcuni numeri poligonali siano sia quadrati sia triangolari, come 1 o 36. Essi prendono il nome di quadrati triangolari.

Numeri rettangolari

Sommando i primi numeri dispari (1, 3, 5, 7…) otteniamo i numeri quadrati. Se invece sommiamo i primi numeri pari otteniamo i numeri rettangolari, ossia con cui è possibile costruire sempre un rettangolo.

Naturalmente si possono costruire rettangoli diversi che abbiano comunque la stessa area (1×12 = 2×6 = 3×4…), ma è interessante osservare che i rettangoli costruiti in tal maniera possono avere le dimensioni composte da numeri consecutivi: 1×2, 2×3, 3×4, 4×5, 5×6…

Numeri pentagonali, esagonali, N-gonali…

Proseguiamo con altri numeri poligonali: vogliamo adesso costruire un pentagono. Disegniamo il numero 1, e aggiungiamo il numero 4, poi dovremo aggiungere il numero 7, poi il 10 e così via. I primi numeri pentagonali sono 1, 5, 12, 22, 35…

Per i numeri esagonali, abbiamo capito l’antifona: disegniamo il numero 1, disegniamo il numero 5, poi il 9, poi il 13, ottenendo i numeri esagonali 1, 6, 15, 28, 45…

Relazione per i numeri poligonali

C’è una relazione tra i numeri scelti per trovare i numeri poligonali?

• Per i numeri triangolari si parte da 1, si somma 2, poi 3… Insomma, un numero consecutivo dopo l’altro. Quindi sommando i primi N numeri si ottiene l’N-esimo numero triangolare.
• I numeri quadrati si realizzano partendo da 1 a cui si somma 3, poi 5…Un numero ogni due, ovviamente tutti dispari: sommando i primi N numeri dispari si ottiene l’N-esimo numero quadrato.
• Per trovare i numeri pentagonali si parte da 1, sommando poi 4, poi 7… Ossia un numero ogni tre.
• Ancora, sommiamo un numero ogni quattro per costruire numeri esagonali.
• In generale, per sapere quali sono i numeri N-gonali, ossia con cui si possono disegnare poligoni con N lati a più “strati”, dovremo sommare un numero ogni (N-2), partendo da 1.

Queste ed altre relazioni studiavano i neopitagorici come Nicomaco di Gerasa.

E poi?

Proviamo a sommare due numeri triangolari: se questi sono consecutivi, per esempio 10 e 15 (ottenuti da 4 e 5) otterremo 25, che è un numero quadrato. La somma di due triangolari consecutivi è pari al quadrato del secondo.

Il numero 6 è definito perfetto perché la somma dei suoi divisori (1, 2, 3) dà 6 stesso. Il successivo numero perfetto è 28, i cui divisori 1, 2, 4, 7, 14 sommati danno 28 stesso. Ci sono altri numeri perfetti, ma non si sa se siano infiniti né una formula per calcolarli.

Numeri poligonali in tre dimensioni: i numeri tetraedrici

I poligoni sono figure piatte, a due dimensioni. Ma cosa succede se si cerca una relazione tra i numeri e le figure solide? Consideriamo il tetraedro, ossia la piramide con quattro triangolari equilateri come facce.

Disegniamo “nello spazio” un pallino. Sotto di esso, per ottenere un tetraedro, occorrerà disegnare un triangolo equilatero. Sotto ancora, un altro, più grande, e via così. Scopriamo che per ottenere tetraedri sempre più grandi dovremo sommare numeri triangolari:

• 1
• 1+3 = 4
• 1+3+6 = 10
• 1+3+6+10 = 20
• Eccetera.

Perché giocare con i numeri poligonali?

Innanzitutto bisogna ricordare che queste relazioni vennero scoperte dai pitagorici circa 2500 anni fa, quando tutto era nuovo, una scoperta, numeri e misticismo si mescolavano e amalgamavano. La scoperta dei numeri irrazionali portò alla condanna per annegamento del loro scopritore, Ippaso di Metaponto, perché Pitagora non riusciva a concepirli: oggi sono studiati alle scuole primarie.

Giocare con i numeri interi sembra quasi un passatempo, ma serve a elasticizzare la mente ponendosi domande che aprono questioni più complesse, che spesso portano a teoremi importanti. Inoltre i numeri interi sono utilissimi in moltissime applicazioni pratiche come l’informatica e la programmazione lineare intera. Forse anche i numeri poligonali prima o poi troveranno importanti riscontri pratici.

La forza della matematica sta in questo: risolvere problemi che si è creata da sola, per puro amore della scoperta, con secoli e decenni di anticipo rispetto al loro utilizzo pratico.

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